Grundlagen kontinuierlicher Symmetrien

I Symmetrietransformationen

A Grundlegende Symmetrien
1 Definition
2 Beispiele
3 Aktive und passive Perspektive
B Symmetrien in der klassischen Mechanik
1 Newtonsche Mechanik
2 Lagrange-Mechanik
3 Hamilton-Mechanik
C Symmetrien in der Quantenmechanik
1 Kanonische Quantisierung
2 Symmetrieoperationen
3 Allgemeine Folgerungen

A_I Statistische Mechanik im Phasenraum
1 Euler-Darstellung
2 Lagrange-Darstellung

B_I Satz von Noether in der Feldtheorie
1 Euler-Lagrange-Formalismus für Felder
2 Symmetrietransformation und erhaltener Strom
3 Verallgemeinerte Formulierung in der Raumzeit
4 Lokale Energieerhaltung

II Grundbegriffe der Gruppentheorie

A Eigenschaften von Gruppen
1 Definition
2 Beispiele
3 Strukturen in Gruppen
4 Direktes Produkt
B Darstellungen einer Gruppe
1 Definition und Eigenschaften
2 Äquivalente Darstellungen
3 Charaktere
4 Summe und Produkt von Darstellungen
5 Reduzible und irreduzible Darstellungen

A_II Zerlegungen von Gruppen
1 Nebenklassen
2 Faktor- oder Quotientengruppe

III Einführung in Lie-Gruppen

A Allgemeine Eigenschaften
1 Kontinuierliche (topologische) Gruppen
2 Lie-Gruppen und Lie-Algebren
3 Kompakte Gruppen und ihre Darstellungen
B Beispiele
1 Drehungen in einer Ebene: SO(2)
2 Galilei-Transformationen im eindimensionalen Raum
3 Die Gruppe SU(2)
4 Drehungen in drei Dimensionen ? Die Gruppe SO(3)
C Galilei- und Poincaré-Gruppe
1 Galilei-Transformationen
2 Poincaré-Gruppe

A_III Adjungierte Darstellung und Casimir-Operator
1 Adjungierte Darstellung einer Lie-Algebra
2 Ein Skalarprodukt auf L: die Killing-Form
3 Vollständig antisymmetrisierte Strukturkonstanten
4 Konstruktion des Casimir-Operators

IV Darstellungen von Gruppen in der Quantenmechanik

A Physikalische Eigenschaften einer Transformation
B Der Satz von Wigner
C Transformation von Observablen
1 Konstruktion
2 Physikalische Bedeutung
D Unitäre Darstellungen auf einem Zustandsraum
1 Wirkung einer Transformationsgruppe
2 Infinitesimale Transformationen und Vertauschungsrelationen
E Phasenfaktoren und projektive Darstellungen
1 Lokale Eigenschaften
2 Darstellungen endlicher Dimension

A_IV Projektive Darstellungen von Lie-Gruppen ? Satz von Bargmann
1 Einfach zusammenhängende Gruppe
2 p-fach zusammenhängende Gruppe

B_IV Der Satz von Uhlhorn-Wigner
1 Reeller Vektorraum
2 Komplexer Vektorraum

V Erzeugende Operatoren der Galilei- und Poincaré-Gruppe

A Darstellungen im Zustandsraum
B Galilei-Gruppe
1 Allgemeine Eigenschaften
2 Elimination der ß_ab
3 Erhaltungsgrößen: Masse, innere Energie, Spin
C Lorentz-Poincaré-Gruppe
1 Eliminieren der diagonalen Operatoren
2 Invariante Observablen: Masse, Energie, Spin
3 Masselose Teilchen
4 Endliche Transformationen

A_V Die eigentliche Lorentz-Gruppe
1 Beziehung zur Gruppe SL(2,C)
2 Kleine Gruppe eines Vierervektors

B_V Die Spinoperatoren S und W
1 Spinoperator S
2 Der Pauli-Lubanski-Vektor
3 Spinquadrat in einem Unterraum mit beliebigem Viererimpuls

C_V Die Bewegungs- oder Euklidische Gruppe
1 Wiederholung der klassischen Eigenschaften
2 Operatoren auf dem Zustandsraum

D_V Raumspiegelung (Parität)
1 Wirkung im Ortsraum
2 Operator auf dem Zustandsraum
3 Erhaltung und Verletzung der Parität

VI Zustandsräume und Wellengleichungen

A Galilei-Gruppe und Schrödinger-Gleichung
1 Das kräftefreie Teilchen ohne Spin
2 Teilchen im elektromagnetischen Feld
B Relativistische Wellengleichungen
1 Klein-Gordon-Gleichung
2 Dirac-Gleichung
3 Weyl-Gleichung

A_VI Relativistische Invarianz der Dirac-Gleichung und nichtrelativistischer Grenzfall
1 Lorentz-Transformation der Dirac-Spinoren
2 Nichtrelativistischer Grenzfall

B_VI Endliche Lorentz-Transformationen und Dirac-Zustandsraum
1 Geometrische Bewegungen
2 Lorentz-Transformationen
3 Zustandsraum und Observablen für die Dirac-Gleichung

C_VI Lagrange-Funktionen und Erhaltungsgrößen
1 Notation und komplexe Felder
2 Schrödinger-Gleichung
3 Klein-Gordon-Gleichung
4 Dirac-Gleichung
5 Das Standardmodell der Elementarteilchen

VII Drehimpulse, Drehgruppe, Spinoren

A Elementare Theorie des Drehimpulses
1 Wiederholung: Leiteroperatoren und Quantenzahlen
2 Die Standardbasis
3 Konstruktion der Drehmatrizen
B Transformation von Vektoren und Spinoren
1 Spin j = 1 und reelle Drehungen
2 Spinoren und ihre Wellenfunktionen
C Irreduzible unitäre Darstellungen
1 Zerlegung in irreduzible Bausteine
2 Die Standarddarstellungen sind irreduzibel
3 Zweiwertige und projektive Darstellungen
D Addition von Drehimpulsen
1 Aufgabenstellung
2 Zerlegung einer Produktdarstellung

A_VII Die SU(2) überlagert die Drehgruppe homomorph
1 Wirkung der SU(2) auf reelle Vektoren
2 Die Transformation ist eine Drehung
3 Homomorphismus zwischen SO(3) und SU(2)
4 Bezug zum Kapitel VII

B_VII Kopplung von drei Drehimpulsen
1 Unterräume mit Gesamtdrehimpuls Null
2 3j-Symbole
3 6j-Symbole

VIII Transformation von Observablen unter Drehungen

A Vektorielle Operatoren
1 Vertauschungsrelationen
2 Physikalische Bedeutung
3 Transformation eines Vektoroperators
4 Komponenten in der Standard-Basis
B Tensoroperatoren
1 Motivation
2 Transformation unter Drehungen
3 Sphärische Komponenten
4 Irreduzible Tensoroperatoren
5 Eigenschaften
C Der Satz von Wigner-Eckart
1 Lemma
2 Formulierung des Satzes und Beweis
D Anwendungen
1 Skalare Operatoren
2 Vektorielle Operatoren
3 Rang-2-Tensoroperatoren

A_VIII Elementare Eigenschaften von Tensoren
1 Vektoren
2 Tensoren
3 Produkt und Kontraktion
4 Symmetrische und antisymmetrische Tensoren
5 Zerlegung in irreduzible Tensoren

B_VIII Irreduzible Zerlegung von Tensoren zweiter Ordnung
1 Tensorprodukt von zwei Vektoroperatoren
2 Irreduzible Komponenten in der Cartesischen Basis

C_VIII Multipolmomente
1 Elektrische Multipole
2 Magnetische Multipole
3 Multipolmomente von Systemen mit Drehimpuls J

D_VIII Zerlegung einer Dichtematrix in irreduzible Tensoren
1 Liouville-Raum
2 Transformation unter Drehungen
3 Eine Basis irreduzibler Operatoren
4 Drehsymmetrie und Zeitentwicklung

IX Interne Symmetrien

A Systeme von Teilchen mit interner Symmetrie
1 Grundbegriffe
2 Unterscheidbare Teilchen
3 Identische (ununterscheidbare) Teilchen
4 Interne Zustände und Quantenzahlen
B Die Isospin-Symmetrie
1 Lie-Algebra
2 Spin und Isospin
3 Isospin-Multipletts
4 Beispiele
C Flavour-Symmetrie und die Gruppe SU(3)
1 Erzeugende Operatoren
2 Darstellungen der SU(3)
3 Konstruktion der irreduziblen Darstellungen
4 Anwendungen in der Elementarteilchenphysik

A_IX Symmetrisieren von gleichwertigen Teilchen
1 Fermionen
2 Bosonen
3 Vollständig (anti)symmetrisierte Zustände
4 Äquivalenz zwischen zwei Vielteilchensystemen

X Gebrochene Symmetrie

A Ferromagnetismus
1 Thermisches Gleichgewicht
2 Spontane Symmetriebrechung
B Weitere Beispiele
1 Kristallisation
2 Bose-Einstein-Kondensation
3 Higgs-Mechanismus in der Quantenfeldtheorie

Anhang Zeitumkehr

A In der klassischen Mechanik
B Antilineare Operatoren
1 Allgemeine Eigenschaften
2 Antiunitäre Operatoren
C Quantenmechanischer Zeitumkehroperator
1 Notwendigkeit eines antilinearen Operators
2 Zeitumkehr als Symmetrietransformation
D Explizite Konstruktion von Operatoren für Zeitumkehr
1 Spinloses Teilchen
2 Spin-1/2-Teilchen
3 Teilchen mit beliebigem Spin
4 Systeme von Teilchen
E Anwendungen
1 Mikroreversible Systeme
2 Satz von Kramers
3 Gerade und ungerade Observablen unter Zeitumkehr
4 Satz von van Vleck